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norme d'un vecteur produit scalaire

y Elle offre un cadre géométrique qui permet de généraliser bon nombre de résultats vrais sur les nombres réels. ⋅ Il est possible d'éviter de faire appel à cette fonction. B B {\displaystyle {\widehat {AOB}}} Le produit scalaire d'un vecteur avec lui-même est égal à l'aire d'un carré de côté la longueur d'un de ses représentants. De tels représentants existent quel que soit le choix des vecteurs. ÷ Le produit scalaire est une forme bilinéaire. × → On dit qu'une application y 1 Sont également utilisables le théorème de Pythagore, la loi des cosinus et le théorème de Thalès. La théorie devient plus subtile et de nombreux résultats, vrais en dimension finie, prennent une autre forme. La figure de droite illustre cette propriété. r + {\displaystyle {\widehat {AOB}}} {\displaystyle {\vec {y}}} A Automorphismes orthogonaux et matrices orthogonales. → → 3 y → ′ B ∗ {\displaystyle {\vec {x}}} 3 {\displaystyle {\vec {y}}} e ∗ . ⋅ Borne inférieure x 3 {\displaystyle |{\overrightarrow {OA}}\cdot {\overrightarrow {OB}}|=OA\times OB} × y {\displaystyle {\vec {x}}} Le rectangle violet possède une hauteur égale à celle du triangle vert, et sa base est égale à OD. {\displaystyle {\overrightarrow {AB}}} {\displaystyle {\overrightarrow {OA}}} d , Enfin, l'article « Géométrie euclidienne » propose une synthèse de l'histoire, des implications et applications du produit scalaire en dimension finie. ) {\displaystyle {\vec {y_{1}}}={\vec {y_{2}}}={\vec {y}}} O Soit A, B et C, trois points distincts, la trigonométrie du triangle rectangle permet de calculer le produit scalaire grâce à une projection orthogonale. → Dans une base orthonormée, il existe une manière simple d'exprimer le produit scalaire, à l'aide de matrices. Pour cette raison, un espace de Hilbert est par définition complet. {\displaystyle {\vec {x}}\cdot {\vec {y}}=x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+x_{3}y_{3}} {\displaystyle {\overrightarrow {OB}}} 3 A , → {\displaystyle \circ } Notons (φ1, φ2, φ3) et (ψ1, ψ2, ψ3) les coordonnées des vecteurs Une application de cette nature, laissant invariant les angles, les longueurs et par voie de conséquence les surfaces est appelée isométrie. {\displaystyle \left({\vec {b_{1}}},{\vec {b_{2}}},{\vec {b_{3}}}\right)} x Minimum ∧ ⋅ 0 + Une base d'un espace vectoriel réel E de dimension n étant fixée, on définit par cette méthode une bijection entre les produits scalaires sur E et les matrices symétriques réelles définies positives de taille n. Pour adapter la définition du produit scalaire réel aux espaces vectoriels complexes, nous avons besoin de la notion de « semi-linéarité » : Une application f d'un espace vectoriel complexe E dans ℂ est dite semi-linéaire si elle vérifie : Soit donc maintenant E un espace vectoriel complexe. On remarque que si H est confondu avec A, alors le produit scalaire est nul. ∨ c = → ( {\displaystyle A} ) = ⋅ → →   qui, par les propriétés de bilinéarité et de symétrie, s'écrit : x e x Une telle application est dite bilinéaire. A O ) O sont orthogonaux si l'un ou l'autre des vecteurs est nul ou si l'angle géométrique AOB est droit. ‖ x {\displaystyle \wedge } 1 Chacun des deux rectangles hachurés en vert a pour surface le produit scalaire de O + En physique, il est, par exemple, utilisé pour modéliser le travail d'une force. Le produit scalaire est parfois utilisé sous cette forme pour déterminer le travail d'une force lors d'un déplacement : le travail de la force F selon le trajet u est le produit scalaire des deux vecteurs. {\displaystyle {\vec {x}}\cdot {\vec {y}}=(x_{1}{\vec {e_{1}}}+x_{2}{\vec {e_{2}}}+x_{3}{\vec {e_{3}}})\cdot (y_{1}{\vec {e_{1}}}+y_{2}{\vec {e_{2}}}+y_{3}{\vec {e_{3}}}),}. {\displaystyle \cdot } Les deux vecteurs �� �fZ��Ъ~��� �.eqx��YeL�έBhK�W�磬��A!���^ y Pour cela, pour tous vecteurs u ( , )x y et v ( , )x y de 2, on pose . e ., . ( Cette compatibilité est une conséquence du théorème de Thalès. Différence du paragraphe précédent prennent alors la forme suivante : Les matrices X et Y représentent les deux vecteurs. × y . O i Comme il existe deux grandes manières de définir les vecteurs, soit par une approche purement algébrique (voir l'article « Espace vectoriel »), soit par une approche géométrique à l'aide des bipoints (ou couple de points, voir « Vecteur »), il existe de même deux manières de présenter le produit scalaire : une manière algébrique (objet de l'article « Espace préhilbertien »), et une manière géométrique, à l'aide de bipoints.

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